Читать онлайн Интегрирование и нейросети бесплатно

I.Первообразная и неопределенный интеграл

II.Таблица интегралов

III.Методы интегрирования

С использованием таблицы интегралов

Метод интегрирования по частям.

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Интегрирование основных классов элементарных функций:

Интегрирование простейших рациональных дробей

Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

Интегрирование тригонометрических функций.

В то время, как основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной, основной задачей интегрального исчисления является нахождение функции по заданной ее производной. Говоря иными словами, в случае интегрального исчисления, мы имеем дело с обратной задачей.

I.Первообразная и неопределенный интеграл

Определение первообразной (см.рис.1):

Рис.1.

Определение неопределенного интеграла (рис.2):

Рис.2.

Давайте попробуем основные понятия, связанные с интегральным исчислением, помочь нам сформулировать нейросети.

1.1.Понятие неопределенного интеграла.

GPTutor

Неопределённый интеграл – это понятие математического анализа, используемое для нахождения первообразной. Неопределённый интеграл обозначается следующим образом:

∫f(x) dx

Здесь f(x) – подинтегральная функция, dx – дифференциал переменной x, а ∫ – знак интеграла. Результатом вычисления неопределенного интеграла является множество функций, отличающихся на константу.

Например, если дана функция f(x) = x^2, то её неопределённым интегралом будет F(x) = (1/3) x^3 + C, где C – произвольная постоянная.

Автор

Дайте определение первообразной

GPTutor

Первообразная функции f(x) – это функция ( F(x) ), производная которой равна данной функции f(x) . Математически это выражается следующим образом:

Если F'(x) = f(x) для всех ( x ) из некоторого интервала, то функция F(x) называется первообразной функции ( f(x) ).

Таким образом, первообразная функции f(x) является решением задачи нахождения функции F(x). Важно помнить, что первообразная не единственна, так как любая первообразная может быть получена путём добавления произвольной постоянной.

Неопределенным интегралом от непрерывной функции f(x) на интервале (a; b) называют любую ее первообразную функцию.

ChatGPT на русском: вход в ChatGPT онлайн MashaGPT

Неопределенный интеграл функции \( f(x) \) обозначается как \( \int f(x) \, dx \) и представляет собой множество всех первообразных этой функции. Это означает, что неопределенный интеграл возвращает функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \):

\[F'(x) = f(x)\]

При этом к результату добавляется константа интегрирования \( C \), так как производные констант равны нулю:

\[\int f(x) \, dx = F(x) + C\]

Основные свойства неопределенных интегралов:

1. **Линейность**:

\[ \int (af(x) + bg(x)) \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx \]

где \( a \) и \( b \) – произвольные константы.

2. **Сложение**:

\[ \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx = \int (f(x) + g(x)) \, dx \]

3. **Замена переменной**: Если \( u = g(x) \), то:

\[ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]

Неопределенные интегралы широко используются в математике, физике и инженерии для решения различных задач.

Первообразная функции \( f(x) \) – это такая функция \( F(x) \), производная которой равна исходной функции \( f(x) \):

\[F'(x) = f(x)\]

То есть, если мы берём производную от \( F(x) \), мы получаем \( f(x) \). Первообразная определяет неопределённый интеграл, и к ней добавляется произвольная константа \( C \):

\[\int f(x) \, dx = F(x) + C\]

Первообразная играет ключевую роль в интегрировании, позволяя находить площади под графиками функций и решать множество задач в математике и физике.

Думаю, что с определениями неопределенного интеграла и первообразной. которые дают две нейросети GPTutor и MashaGPT можно согласиться.

Все. выше сказанное.можно подтвердить примерами.

Пример 1.

Найти первообразную функции f(x) = x^2.

GPTutor

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = x^2 ), необходимо вычислить неопределенный интеграл этой функции:

[\int f(x) , dx = \int x^2 , dx]

Согласно правилу интегрирования степенной функции, мы прибавляем 1 к степени и делим на новую степень:

[\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C]

где ( n \neq -1 ) и ( C ) – произвольная константа интегрирования.

В нашем случае ( n = 2 ):

[\int x^2 , dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = x^2 ) равна:

[F(x) = \frac{x^3}{3} + C], где ( C ) – произвольная константа.

ChatGPT Online – AI Chat GPT

Нейросети GPTutor и GPT-4о правильно решили этот пример. Нейросеть ChatGPT ошиблась, перепутав делимое и делитель.

Но все три нейросети абсолютно правильно отметили очень важную особенность процесса нахождения первообразной, называемого интегрированием:

Если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной.

Так, в примере 1 можно было взять в качестве первообразных следующие функции: F(x) = x^3/3 + 3;

F(x) = x^3/3 + 13; F(x) = x^3/3 + 33 или вообще F(x) = x^3/3 + С, где С – произвольная постоянная (константа, как называют ее нейросети). Таки образом, если функция имеет первообразную, то она имеет их бесчисленное множество.

Все множество первообразных F(x) +C называется неопределенным интегралом от функции f(x) обозначается символом ∫f(x)dx.

При этом функцию f(x)называют подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением ,а знак

∫ – знаком интеграла.

Продолжим диалог с нейросетями.

Расскажите о свойствах интеграла.