Читать онлайн Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов бесплатно

В этой главе мы кратко рассмотрим торговые инструменты и дадим их основные характеристики. Всем без исключения читателям, даже тем, кто знаком с данной областью, полезно изучить приведенные ниже определения, т. к. они лежат в основе изложенного в книге анализа.

Производные инструменты (деривативы)

■ Дериватив – это актив, цена которого полностью зависит от цены другого актива (называемого базовым активом). Существуют различные категории деривативов, начиная от таких простых, как фьючерс, и заканчивая такими сложными, как экзотические опционы.

Деривативы делятся на две широкие категории – линейные и нелинейные. Линейный дериватив легко хеджируется и полностью уравновешивается противоположной позицией. Нелинейный дериватив демонстрирует серьезную нестабильность (как во времени до истечения, так и в зависимости от цены базового актива) и требует динамического хеджирования.

■ Нелинейный дериватив в отношении какого-либо параметра представляет собой вторую производную (или частную производную по этому параметру), отличную от нуля.

Во врезке «Мастер опционов» ниже приведено графическое представление концепции нелинейности.

Правило управления рисками: цена всех нелинейных деривативов является время-зависимой (изменяется с течением времени).

Это правило управления рисками рассматривается в принципе «загрязнения» (contamination principle) и фигурирует на протяжении всей книги. Пока достаточно сказать, что нелинейность – это гамма (или, в общем виде, выпуклость) и что гамма должна сопровождаться временны́м распадом («рента»).

Мастер опционов: греки

Греки, как их называют опционные трейдеры, характеризуют чувствительность цены опциона по отношению к ряду параметров. Ниже приведены основные определения, используемые в части I. Эти термины более детально рассматриваются в последующих частях.

Дельта – чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива.

Гамма – чувствительность дельты опциона к изменению цены базового актива.

Вега – чувствительность цены опциона к изменению подразумеваемой волатильности.

Тета – ожидаемое изменение цены опциона с течением времени при отсутствии риска изменения цены базового актива.

Ро – коэффициентом ро (Rho) обычно принято характеризовать изменение цены опциона по отношению к процентным ставкам.

«Длинная гамма» или «длинная вега» означает положительную чувствительность к этому греку (увеличение прибыли по позиции при увеличении грека).

Мастер опционов: точка зрения хеджера

В этой книге деривативы рассматриваются с точки зрения стоимости их репликации. С этой целью мир делится на две части – покупателей опциона и продавцов. Ожидаемая полезность дериватива и даже итоговый финансовый результат будут для них разными. Покупатель (обычно) приобретает конечный результат и редко управляет позицией, в то время как продавец после создания опциона обязательно прибегает к динамическому хеджированию (если он правильно подходит к своей работе), что заметно меняет его продукт.

Динамического хеджера, в общем-то, мало волнует, какой у него опцион, пут или колл (хеджирование первого порядка делает их идентичными). Главное для продавца – это страйк и время до экспирации.

Деривативы не всегда только линейны, выпуклы или вогнуты на всем интервале движения базового актива (см. рис. 1.2A–D). Тест на локальную линейность производного инструмента (которая является функцией базового актива) между ценами активов S₁ и S₂ при 0 < λ < 1 удовлетворяет следующему равенству:

V(λS₁ + (1 – λ)S₂) = λV(S₁) + (1 – λ)V(S₂).

Она выпуклая между S₁ и S₂, если:

V(λS₁ + (1 – λ)S₂) ≤ λV(S₁) + (1 – λ)V(S₂).

Она вогнутая, если:

V(λS₁ + (1 – λ)S₂) ≥ λV(S₁) + (1 – λ)V(S₂).

Мастер опционов: линейные и нелинейные инструменты

Хотя первоначально мы рассматриваем линейность по отношению к базовому активу, позднее это понятие распространяется и на другие параметры, такие как процентные ставки и волатильность.

Как видно на рис. 1.2A–D, линейные инструменты ведут себя на графике как линия. На языке опционов они имеют только дельту, а других греков[9] у них нет, как и кривизны. Линейные деривативы почти или совсем не нуждаются в динамическом хеджировании.

Многие инструменты демонстрируют некоторую линейность до «боевого крещения». Такие инструменты называются квазилинейными. Выпуклость демонстрируют многие финансовые инструменты, даже те, от которых не ждут такого поведения.

Принцип загрязнения, как мы далее увидим, говорит о том, что каждый нелинейный инструмент имеет временну́ю стоимость, положительную, если у него выпуклый профиль, и отрицательную, если у него вогнутый профиль.

Синтетические ценные бумаги

■ Синтетическая ценная бумага – это линейная комбинация двух или более первичных биржевых инструментов.

Цена корзины ценных бумаг определяется на основе взвешенной комбинации существующих первичных инструментов. Например, контракт Standard & Poor's 500 (SP500) является средневзвешенным значением компонентов (цена входящих в него 500 акций). Поэтому его можно точно воспроизвести с помощью комбинации компонентов (для тех, у кого есть время и терпение, чтобы создать соответствующую позицию в 500 акциях). Европейская валютная единица (ЭКЮ)[10] является еще одним примером среднего арифметического. Корзину, состоящую из 20 % акций A и 80 % акций B, можно легко воспроизвести через покупку каждого компонента.

Мастер опционов: первая сделка с деривативами

Одной из первых опционных сделок, зафиксированных в западной литературе, была ставка Фалеса Милетского на будущий урожай. Об этой сделке Аристотель с большой гордостью рассказал в своей «Политике»[11]. Чтобы извлечь выгоду из более богатого, чем ожидалось, урожая оливок, Фалес уплатил депозит за аренду всех прессов для отжима оливок в окрестностях Милета. По мере того как спрос на прессы рос (прогноз урожая был верным), он сдавал их в субаренду с целью получения прибыли. Он делал это главным образом из желания доказать, что философы, если хотят, могут добиться материального успеха. Разделение на «умников из Массачусетского технологического» и «бруклинских малых», существующее в наши дни на Уолл-стрит, присутствовало в V в. и в Малой Азии. Фактически Фалес использовал первый дериватив, точнее опцион колл на форвард, который является производным инструментом второго порядка! Он не стал торговать оливками, которые нужно было продавать вкороткую, а предпочел купить эквивалент опциона колл на прессы для отжима оливок, зная, что может потерять только свой депозит.

Синтетические финансовые инструменты не всегда линейны, но исключения достаточно редки, чтобы не беспокоиться о них. Например, когда среднее значение инструментов не является арифметическим, могут возникнуть некоторые нюансы. Индекс доллара США, торгуемый на FINEX[12], имеет некоторую выпуклость в силу геометрической природы усреднения и поэтому торгуется с премией к базовым активам. Нелинейность, возникающая в результате выпуклости, может привести к тому, что дельта-нейтральная позиция принесет выгоду от движения рынка в любую сторону, и сделать одну сторону арбитража более желательной. Однако чаще всего такая выпуклость оборачивается убытком, т. к. Уолл-стрит редко дарит подарки.

Пример. Elevator Bank формирует собственную «мать всех корзин» и выпускает несколько долговых нот, выплата по которым индексируется по корзине ценных бумаг. Официальная причина заключается в том, что корзина эффективно отслеживает инфляцию или какой-то другой индикатор. Истинная причина заключается в том, что корзина имеет меньшую волатильность, чем сумма инструментов, и считается, что ее легче хеджировать.

Зависящие от времени линейные деривативы

■ Зависящие от времени линейные деривативы – это производные инструменты, отделенные от базового актива соглашением с определенным временем истечения.

Своп является линейным (или квазилинейным) деривативом как производный инструмент второго порядка с зависимостью в отношении цены базового актива, равной нулю (или близкой к нему). С точки зрения трейдера, его коэффициент хеджирования не должен меняться в зависимости от движения базового актива (хотя можно утверждать, что чисто линейных деривативов не существует).

К линейным деривативам, зависящим от времени, относятся:

● Форварды. Они представляют собой соглашения об обмене некоторых базовых активов в будущем.

● Соглашения о будущих процентных ставках (FRA), евродоллары. Для целей этой книги они будут форвард-форвардами, которые можно разбить на серии продуктов, которые начинают действовать в период t и заканчивают в период t + 1.

● Свопы. Каким бы ни было их конечное использование (здесь это не имеет значения), они могут быть представлены в виде комбинации евродолларов или FRA. Их сложность в основном связана с необходимостью учета большого числа факторов при использовании, но в остальном они вполне предсказуемы[13].

Помимо корреляции между ценой фьючерса и финансовыми затратами на поддержание позиции, наибольшую сложность при оценке этих активов составляет интерполяция между двумя точками. Влияние фактора времени также не всегда легко определимая величина. Менее значительная, но немаловажная сложность заключается в учете многочисленных деталей, таких как база расчета 360/365 дней и другие правила, которые невозможно упомнить.

Мастер опционов: принцип загрязнения (или выпуклости)

Наиболее важным понятием в хеджировании опционов и торговле является принцип загрязнения – это фундаментальный принцип динамического хеджирования. Его смысл, грубо говоря, заключается в том, что если во времени и пространстве есть место, способное приносить прибыль, то на окружающей его территории нужно учитывать этот эффект.

Принцип загрязнения сродни теплообмену[14]. Если место расположено вблизи источника тепла, то его температура повышается. Если цена актива приближается к уровню, который принесет существенную прибыль портфелю, то окружающая его территория также должна приносить прибыль (хотя бы незначительную).

На приведенном ниже рисунке по деривативу выплачивают $1 000 000, если на рынке происходит определенное событие. Начиная с некоторой точки S₀ вероятность наступления выплат должна возрастать. На расстоянии одного стандартного отклонения должна произойти выплата в размере $1 000 000 (или части этой суммы). А раз так, то было бы неразумно считать, что в точке S₀ такой дериватив ничего не будет стоить.

Любой опытный трейдер, увидев потенциальную выплату и оценив вероятность ее получить, купит данный производный финансовый инструмент. Дериватив, следовательно, должен стоить больше 0 и до точки S₀. Временнáя стоимость показана на приведенном ниже рисунке.

Вместе с тем временнáя стоимость означает существование временнóго распада. Как показано на следующем рисунке, при тех же условиях временнáя стоимость опциона уменьшается при смещении на стандартное отклонение, поскольку выплата становится менее вероятной.

На последнем рисунке видно: когда точки находятся далеко друг от друга (как в ценах опционов), на графике образуется выпуклая линия.

Этот пример объясняет, почему у опциона появляется выпуклость.

Безусловные зависящие от времени нелинейные деривативы

■ Безусловные зависящие от времени нелинейные деривативы представляют собой инструменты, которые имеют выпуклый, вогнутый или смешанный профиль (по отношению к базовому активу), но не являются опционами (т. е. не зависят от наступления условия и предполагают обязательства для обеих сторон).

Например, небезызвестная ставка во второй степени на LIBOR (лондонская межбанковская ставка)[15] является наглядным примером такой выпуклости. Ставка в третьей степени LIBOR будет иметь третью производную (выпуклость кривизны), но данный продукт не получил распространения. Однако, несмотря на схожие с опционами выплаты, эти инструменты не являются опционом, поскольку обе стороны обязаны обмениваться выплатами. Странность данного инструмента заключается в том, что выплаты выпуклые выше определенной точки и вогнутые ниже, или наоборот. Ускорение положительной отдачи, с одной стороны, уравновешивается ускорением отрицательной отдачи – с другой.

Пример. Elevator Bank продает своим клиентам в районе Цинциннати, штат Огайо, финансовую ноту, по которой ее владельцу выплачивается квадрат движения процентной ставки (между началом действия ноты и заданным моментом времени в будущем). Таким образом, клиент, обеспокоенный низкими процентными ставками, получает ускоренную компенсацию против дальнейшего снижения ставки. Нота выглядит как опцион и, являясь (как кажется) трудно хеджируемой, будет продаваться дороже своей «справедливой» стоимости.

Мастер опционов: принцип загрязнения и LIBOR-квадрат

LIBOR-квадрат – это контракт со смешанным профилем выплат (выпуклым в одном интервале и вогнутым в другом). В начальной точке (в момент заключения) он не имеет ни выпуклости, ни вогнутости. Согласно принципу загрязнения, цена контракта должна быть выше, чем его теоретическая стоимость в зонах с длинной гаммой и ниже в зонах с короткой гаммой[16].

По контракту выплачивается:

q(x – x₀)², если x > x₀;

– q(x – x₀)², если x < x₀,

где q – количество, x₀ – начальная точка, x – текущее значение ставки LIBOR.

Таким образом, его дельта:

2q(x – x₀), если x > x₀;

– 2q(x – x₀), если x < x₀.

А значение гаммы:

2q, если x > x₀;

– 2q, если x < x₀.

На рисунке ниже показан процесс оценки.

Далее при обсуждении торговли опционами мы проясним суть данного явления – покупка и продажа базового актива определяют стоимость любого дериватива в зависимости от его дельта-нейтральной репликации.

Опционы и другие вероятностные контракты

Цена опционов зависит от непредвиденных событий. Им посвящена значительная часть настоящего исследования. Они являются темой этой книги. Своп – это линейный дериватив, а своп, зависящий от пути (path-dependent swap), имеет неопределенный (точно не известный) профиль выплат. В прошлом биржевики определяли эти контракты как инструменты с опциональностью, когда одна сторона имела право выбора, а для другой условия контракта были обязательством.

Мы будем изучать опционы на двух уровнях. Уровень 1 – это традиционное представление продукта, как будто рынков экзотических опционов не существует. На уровне 2 мы перейдем к более общему рассмотрению опционных рынков, включая как ванильные, так и экзотические инструменты (глава 2).

Простые опционы

Опционы представляют собой условные требования и, таким образом, отличаются от других продуктов тем, что являются потенциальным активом для одной стороны и потенциальным обязательством для другой. Эта условность стоимости делает их объектом теории вероятности. Таким образом, ценообразование опционов является вероятностным.

■ Опцион пут – это право продать инструмент по определенной цене (цена страйк) в течение определенного времени. Опцион колл – это право купить инструмент.

С появлением множества новых инструментов разделение опционов на пут и колл утратило четкость. Во многих случаях оно зависит от расчетов или единицы измерения. Для валютной пары опцион пут на немецкую марку/доллар (право продать марки и купить доллары) аналогичен опциону колл на доллар/марку. Аналогично пут на доходность облигаций – это колл на цену облигации, что вызывает замешательство, поскольку одна из известных бирж определила спецификацию опциона как контракт на доходность облигации (таким образом, создав новый актив), в то время как большинство денежных инструментов торгуются в соответствии с их ценой.

Интересным дополнением к этому является то, что опцион колл на SP500 – это опцион пут на денежные средства для того, чей финансовый результат (прибыль или убыток) вычисляется в пунктах SP500 (как в случае с менеджерами индексных фондов). Подробнее об этом будет рассказано позже.

■ Европейский опцион может быть исполнен только в последний торговый день. Американский опцион может быть исполнен в любое время между датой начала его действия и датой его истечения. Гибридный, бермудский опцион[17] может быть исполнен в заранее определенные дни между датой начала действия и датой экспирации.

■ Внутренняя стоимость опциона колл (или та часть цены опциона, которая находится в деньгах (in-the-money)) – это разница между ценой базового актива и ценой исполнения (страйк), если она положительна. Внутренняя стоимость равна нулю, если разница отрицательна. У опциона пут все наоборот. Для европейского опциона (опцион, который может исполняться только в одну дату) внутренняя стоимость обычно характеризуется трейдерами (по определению) как разница между ценой исполнения и соответствующим форвардом. Поскольку опцион не исполняется до истечения его срока, единственной ценой, которая имеет значение, является рыночная цена актива (для поставки на дату экспирации).

Лучший способ интуитивно понять, является ли производный инструмент опционом, – это посмотреть, является ли его профиль выплат асимметричным и есть ли у этого инструмента цена исполнения (страйк) (рис. 1.3). Цена опциона колл на дату экспирации определяется как:

Max (S – K, 0),

где S – цена базового актива на дату экспирации, а K – цена исполнения (страйк). Иными словами, цена опциона – это наибольшая из разниц между ценой базового актива на дату экспирации и страйком или нулем[18].

Эта простая формула означает, что владелец получает некоторую сумму (внутреннюю стоимость) или ничего в зависимости от того, что больше. S – K в формуле – это разница между ценой спот (ценой базового актива) и страйком. Когда она отрицательна, трейдер предпочитает не исполнять опцион[19].

Для опциона пут формула выглядит следующим образом:

Max (K – S, 0).

■ Форварды и фьючерсы – это контракты, подразумевающие безусловный обмен актива в заранее установленную дату по согласованной цене.

Эти инструменты представляют собой прямые требования с активами и обязательствами с двух сторон (в отличие от опционов, где одна сторона имеет право, а другая – обязательство). Они также отличаются от опционов тем, что выплата не дает ни одной из сторон возможности выбора. Как будет показано позже, некоторые незначительные технические детали в спецификациях фьючерсных контрактов (реально незначительные), таких как фьючерсы на облигации[20], породили целую кустарную индустрию арбитражеров, аналитиков и т. п.

Другой способ понять опцион – думать о нем как о половинке фьючерса или форварда. Мы получаем прибыльную половину графика в длинной позиции (выше определенной точки, называемой ценой исполнения) или прибыльную половину в короткой позиции. За такую возможность мы платим премию. Неудивительно, что длинная позиция в опционе пут и короткая в опционе колл повторяет фьючерс[21] (конечно, возникают вопросы досрочного исполнения, которые мы поначалу игнорируем).

Опционы присутствуют и в нашей повседневной жизни. Какие-то из них являются длинными (в которых есть выбор), а какие-то – короткими. Генеральный директор, в силу своего положения, имеет возможность выбора. Он может принять участие в росте компании и получить бонус, когда показатели компании являются приемлемыми. Если отрасль переживает спад и компания обанкротится, то единственным риском для генерального директора будет потеря работы и неприятная, но в остальном безобидная критика. Его не попросят предстать перед советом директоров с чековой книжкой на руках. Легко заметить, что цена исполнения бонуса – это достижение требуемых результатов и продажа акционерами (или, вернее, предоставление) этого опциона менеджеру[22].

Форварды, опционы и фьючерсы представляют основную массу производных инструментов.

Жесткая и мягкая опциональность

■ Опциональность – это широкий термин, используемый трейдерами для описания нелинейности выплат финансового инструмента. Он часто применяется к выпуклым по выплатам инструментам. Также он может применяться к ордерам, таким как стоп-лосс. В дополнение к принципу загрязнения каждый инструмент с опциональностью должен торговаться с премией, которая уменьшается со временем (из-за сужения вероятности наступления событий). Это означает, что каждый инструмент с опциональностью подвержен временно́му распаду.

Жесткой опциональностью называют ситуацию, когда у контракта есть цена исполнения. В свою очередь, мягкой опциональностью считается ситуация, когда у контракта есть встроенная выпуклость, но нет реальной цены исполнения. Мягкой опциональности обычно свойственна более мягкая гамма и другие греки. Также для нее характерны более стабильные во времени характеристики.

Базовые правила опционной эквивалентности

Ниже приведены базовые правила того, что трейдеры называют «опционной алгеброй».

● Паритет пут-колл для европейского опциона: длинный колл / короткий пут = длинный форвард, при условии, что их цены исполнения одинаковы.

Предупреждение об истечении срока действия. Пин-риск (описанный в главе 13) приводит к нарушению паритета пут-колл для котируемых опционов.

Обозначение длинной позиции знаком «+», а короткой – знаком «–» позволяет перейти к следующей простой арифметике.

Эквивалентность позиций:

+С – P = F. Длинный форвард равен позиции «длинный колл / короткий пут» с одинаковым страйком.

Следовательно:

+C = P + F. Длинный колл эквивалентен позиции «длинный пут / длинный форвард».

А также:

+P = C – F. Длинный пут эквивалентен позиции «длинный колл / короткий форвард».

● Для мягкого американского опциона (см. определение ниже в этой главе) правило паритета пут-колл соблюдается, но не так строго.

● Для жестких американских опционов правило становится менее четким. Более сложные правила описаны в главе 15. В соответствии с ними неспециалистам рекомендуется полностью игнорировать паритет пут-колл.

Пример. Предположим, что 3-месячный 102 пут торгуется по $1,975, 3-месячный 102 колл торгуется по $2,9625, а форвард с поставкой на дату экспирации для обеих сделок торгуется по 101,00.

На дату экспирации при финансировании по ставке 5 % колл будет стоить $1,975 × 0,05 × (90/360) = $0,025, а пут – $0,0375. В этом случае мы получим распределение прибыли-убытка как в табл. 1.1.

Табл. 1.1 показывает профиль позиции на дату экспирации. Если две сделки эквивалентны на экспирацию на всем множестве возможных цен базового актива и имеют одну и ту же дату экспирации, то данные позиции характеризуются одинаковым риском и профилем прибыли/убытка на всем протяжении их жизни.

Следующее правило применяется ко всем рынкам, должным образом отмасштабированным, при условии, что это европейские опционы на ликвидные форварды. Чтобы сделать это правило подходящим для фьючерса, необходимо должным образом учесть наращивание «хвоста» (см. главу 7).

Правило зеркального отображения

Один пут + x% форварда = один колл + (100 – x)% форварда (если цена исполнения и дата экспирации опционов одинаковы).

Это правило очевидно. При дельте пута 30 % получаем P + 0,3F = (C – F) + 0,3F = C – 0,7F[23]. Если 103-й пут имеет форвардную дельту 30 %, то 103-й колл будет иметь форвардную дельту 70 %. В этой формуле используется форвардная дельта (forward delta), а не спотовая дельта (cash delta)[24]. Большинство систем управления рисками используют спотовую, а не форвардную дельту, как это делает каноническая формула Блэка–Шоулза–Мертона.

Предупреждение. Европейские опционы необходимо хеджировать форвардом[25], а не спотом (т. е. базовым активом на рынке спот). Однако большинство коммерческих систем ценообразования используют вместо этого хеджирование спотовым инструментом, и это может вводить в заблуждение. Трейдеры часто прибегают к базовому активу на рынке спот для краткосрочного хеджирования из-за низкой ликвидности форвардов. Эта привычка обычно приводит их к тому, что они не соблюдают точные условия для адекватного паритета пут-колл.

■ Форвардная дельта для европейского опциона – это эквивалентная позиция в форварде с той же датой поставки, что и у базового актива.

Для американских опционов форвардная дельта, как правило, имеет неопределенную длительность. Эта длительность, в принципе, может быть рассчитана, ее называют «омегой» (см. далее в настоящей главе), однако она слишком нестабильна для использования в наших целях с точки зрения эквивалентности.

Таким образом, стрэддл (straddle) будет эквивалентен двум дельта-нейтральным коллам или двум дельта-нейтральным путам (с одним и тем же страйком). Предположим, что форвардная дельта пута составляет 30 %:

Стрэддл = 2P + 0,6F = 2(C – F) + 0,6F = 2C – 2F + 0,6F = 2C — 1,4F.

Следовательно, календарный спред на коллах (call calendar spread) имеет такой же профиль, как и календарный спред на путах (put calendar spread) (при постоянных процентных ставках).

Бабочка (butterfly) на путах будет иметь ту же цену, что и аналогичная конструкция на коллах. Рассмотрим бабочку на страйках 98/100/102 (покупка одного 98 колла, продажа двух 100 коллов, покупка одного 102 колла):

Бабочка на 98/100/102 коллах, бабочка на 98/100/102 путах и 98/100/102 кондор (condor) будут обладать одинаковой экспозицией.

Кондор 98/100/102 состоит из длинного 98 пута, длинного 102 колла и короткого 100 стрэддла:

Для того чтобы дать читателю наглядное представление о данной концепции, на рис. 1.4 показан один и тот же профиль прибыли/убытка для следующих позиций:

Длинный 98, длинный 102, короткий (×2) 100, все коллы или все путы.

Длинные 98 путы, длинные 102 коллы, короткий 100 стрэддл.

Длинные 98 коллы, длинные 102 путы, короткий 100 стрэддл.

В результате этих правил волатильность пута вне денег (out-of-the-money) должна точно соответствовать волатильности соответствующего колла в деньгах (in-the-money) на том же страйке.

Правило управления рисками

Трейдеры никогда не должны переносить правило паритета пут-колл за пределы одного и того же страйка. Некоторые из предыдущих правил могут быть использованы с мягкими американскими опционами, за исключением случаев, когда дельта опциона становится слишком высокой.

Американские опционы, досрочное исполнение и другие проблемы (продвинутый уровень)

Американский опцион создает больше проблем, чем европейский, поскольку путь, по которому следует базовый актив, может привести к досрочному исполнению опциона. В случае с европейским опционом ценообразование является достаточно простым – можно просто дисконтировать окончательные выплаты на дату экспирации.

Не погружаясь в детали ценообразования американского опциона, можно сказать, что сложность моделирования возникает из-за неопределенности, связанной с возможностью досрочного исполнения опциона[26]. Правила исполнения непостоянны и зависят от времени и внутренней стоимости, что делает их слишком неопределенными.

Вероятность досрочного исполнения обычно определяется двумя способами – по мягким (или легким) или по жестким правилам.

Мягкие американские опционы

■ Мягкий американский опцион (также называемый псевдоевропейским опционом) досрочно исполняется только по соображениям финансирования внутренней стоимости.

В дополнение к этому определению можно сказать, что существует единственная процентная ставка, от которой зависит финансирование опционной премии для трейдера и которая влияет на решение о досрочном исполнении.

Для целей управления рисками и торговли мягкие американские опционы во многом схожи с европейскими опционами, за исключением тех случаев, когда процентные ставки становятся очень высокими по отношению к волатильности. Причина, по которой их часто называют псевдоевропейскими, заключается в том, что они ведут себя в целом как европейские опционы, кроме случаев, когда находятся глубоко в деньгах (deep in the money). Критерий досрочного исполнения состоит в том, является ли общая стоимость опциона меньше временно́й стоимости денег между моментом принятия решения и датой экспирации.

Пример. Предположим, что актив торгуется по $100 при процентной ставке 6 % (в годовом исчислении) и волатильности 15,7 %. Предположим также, что 3-месячные 80 коллы стоят $20 (тип исполнения – американский). Отказ от досрочного исполнения приведет к возможным затратам 20 × 90/360 × 0,06 = $0,30 (финансирование премии в размере $20 на 3 месяца под 6 %). Временна́я стоимость эквивалентного пута близка к нулю (по паритету пут-колл), поэтому вдумчивый биржевой трейдер может обменять колл на базовый актив и купить пут, чтобы воспроизвести ту же исходную структуру с меньшими затратами. Его позиция в этом случае будет состоять из длинного пута и длинной позиции в базовом активе.

Жесткие американские опционы

■ Жесткий американский опцион – это опцион, который досрочно исполняется как по соображениям финансирования внутренней стоимости, так и из-за затрат на поддержание позиции в базовом активе до номинальной даты экспирации.

Иначе говоря, на решение о досрочном исполнении опциона влияют две ставки – премия для трейдера и стоимость поддержания позиции в базовом активе.

Таким образом, досрочное исполнение может осуществляться, помимо мягкого условия, еще и в зависимости от того, приносит ли выгоду ранняя позиция в базовом активе. Следующее соображение необходимо учитывать в течение всего срока действия опциона: что для трейдера лучше – владеть активом, приносящим процентный доход, или эквивалентной позицией через опционы?

Пример. Трейдер владеет тем же самым коллом, что и в предыдущем примере. При этом базовый актив – это валюта, по которой выплачивается 20 %, в то время как внутренняя процентная ставка составляет 6 %. Опционный трейдер имеет дополнительную выгоду от исполнения колла, т. к. может получить валюту, по которой платят более высокий процент по сравнению с его домашней валютой. Финансирование позиции стоит ему всего 6 %, позволяя заработать около 14 % годовых на той же стоимости. Польза от досрочного исполнения и владения активом значительно выше, чем в предыдущем случае: 0,14 × 100 (номинальная стоимость) × 90/360 = $3,5. Кроме того, трейдер намного раньше получает денежные средства, которые были вычислены в предыдущем примере ($0,30). Возможно, трейдеру следует воспользоваться правом досрочного исполнения намного раньше, чтобы извлечь выгоду из этого дополнительного удачного стечения обстоятельств.

В аналогичной ситуации опцион пут на высокодоходную валюту не будет досрочно исполняться. Рассмотрим следующие условия: рынок торгуется по цене 100, тогда 120 пут с внутренней стоимостью $20 будет лучше держать до экспирации, поскольку оператору придется заплатить $3,50 за эквивалентную короткую позицию для финансирования этой разницы. Правда, при анализе затрат и выгод из этой величины необходимо вычесть 30 центов финансирования премии. Таким образом, опцион не будет досрочно исполнен трейдером, выбирающим оптимальный способ управления позицией. В таком случае опцион будет торговаться как инструмент европейского стиля[27].

Эти правила жесткого досрочного исполнения распространяются на следующие инструменты:

● Облигации с положительной стоимостью поддержания позиции (positive carry). Американские опционы колл на облигации исполняются досрочно, когда финансирование позиции в облигации обходится дешевле, чем ее доходность. Таким образом, американские опционы пут будут аналогичны европейским опционам пут (но не абсолютно).

● Облигации с отрицательной стоимостью поддержания позиции (negative carry). Обратное утверждение также верно.

● Акции. При отрицательной стоимости поддержания позиции в акциях (и при известных дивидендных выплатах) опционы колл похожи на европейские и наоборот.

Никогда не доверяйте цене американского опциона[28] на наличный инструмент. Изменения параметров могут происходить в течение всего срока действия опциона (по бездивидендным акциям начинают выплачивать дивиденды, изменяются процентные ставки и разница между ними). Все это может повлиять на будущую стоимость опциона. Параметры американских опционов, к сожалению, не замораживаются.

Опционы на фьючерсы будут рассматриваться с учетом мягких правил досрочного исполнения. Для целей анализа мы, как правило, относим их к категории европейских опционов. В любом случае критерием является финансирование премии – различия между европейскими и американскими опционами становятся заметными только для денежных инструментов глубоко в деньгах.

Европейские инструменты, как правило, преобладают там, где есть различия в механизме ценообразования. Рынок обычно ориентируется на наиболее ликвидный инструмент, и трейдеры, отказываясь от сложных опционов, делают их менее привлекательными для торговли. Европейские опционы доминируют на валютном рынке и составляют около 99 % объема опционов[29].

Мастер опционов: правило простоты

Следует учитывать одно из основных правил – рынок всегда стремится к простоте. Сложность, как правило, обходится дороже как для контроля, так и для создания опционов. В результате в долгосрочной перспективе спрос смещается от сложного к простому. Новые (и часто более сложные контракты), безусловно, привлекают людей, но новизна довольно быстро проходит, и трейдеры пытаются удовлетворить свои потребности в хеджировании наиболее дешевыми способами.

Сложные продукты стоят больше с точки зрения репликации. Оптимальный трейдер стремится к разумным затратам и избегает обогащения финансовых учреждений, когда можно удовлетворять свои интересы более экономно. Это видно по тому, какие котируемые финансовые инструменты продолжают существовать, а какие умирают. В итоге это соображение становится основным для выживания биржевых контрактов. Это правило будет еще рассматриваться при изучении экзотических опционов.

Краткое предупреждение относительно тестов на досрочное исполнение

Большинство биржевых трейдеров имеют систему управления рисками, которая идентифицирует опционы, подверженные досрочному исполнению, и регулярно закрывают позиции в данных инструментах. Зачастую это не очень эффективно (и даже опасно) по следующим причинам:

● Необходимо уточнять тест, используя текущую волатильность для соответствующего опциона вне денег с тем же страйком. Большинство систем риск-менеджмента не применяют настоящие улыбки волатильности правильно. Например, если тест на досрочное исполнение опциона проводится при волатильности 16 %, а при цене страйк она составляет 20 %, то сигнал системы о досрочном исполнении будет ошибочным.

● Как дополнительное уточнение нужно использовать временну́ю структуру волатильности с помощью повторного тестирования при большей или меньшей продолжительности, вводя максимально возможную волатильность в период между текущим моментом и экспирацией опциона.

● При работе с крупными позициями дилеры при исполнении синтетически создают короткие позиции в опционах вне денег. Рекомендуется проверять ликвидность такого страйка на рынке и определять стоимость замены.

● Существует байка: за день до краха фондового рынка (1987 г.)[30] X, маркетмейкер опционов на евродоллар, нашел в своей книге[31] реверсию (reversal) глубоко в деньгах (реверсия означает, что у трейдера есть длинный опцион пут, короткий опцион колл и короткая позиция во фьючерсе). Согласно его системе риск-менеджмента, пут подлежал досрочному исполнению. Он исполнил пут и остался с непокрытыми опционами колл (в данном случае короткая позиция в этом опционе была не защищена длинной позицией во фьючерсе). На следующий день на открытии рынок вырос на 10 стандартных отклонений. В результате он прогорел, а его история стала легендой. По иронии судьбы X принадлежал к числу покупателей крыльев (тех, кто всегда держит позиции в опционах вне денег). Он никогда не продавал крылья и в итоге пострадал от синтетического (и совершенно случайного) шорта.

Последствия: календарные улыбки волатильности (кривые волатильности в разных сроках) (продвинутый уровень). Волатильность опционов с одним и тем же страйком должна быть одинаковой, чтобы обеспечить паритет пут-колл. Хотя это правило применяется безоговорочно для европейских опционов, многие трейдеры ошибочно применяют его к американским опционам. В одних случаях правила можно применить, а в других их необходимо скорректировать.

При сильном перекосе волатильности (skew), влияющем на рынок, паритет пут-колл может быть значительно ослаблен в результате следующего:

● Поднимающаяся кривая волатильности может отличаться для пута и колла друг от друга, поскольку неисполняемая нога (leg) будет существовать до номинального срока исполнения, а исполняемая нога будет иметь значительно более короткий ожидаемый срок существования.

Пример. Предположим, что 3-месячные опционы торгуются с волатильностью 15,7 %, а 1-дневные – с волатильностью 13 %. Исполняемый 80 колл будет оцениваться по 13-й волатильности, а неисполняемый (80 пут) будет торговаться по 20-й волатильности.

● Сильная улыбка (smile) (ожидаемая волатильность как функция цены страйк и времени до экспирации) может дать худшие результаты.

Пример. Как показано на рис. 1.5, предположим, что 3-месячный опцион в 80 страйке торгуется с 20 %-ной волатильностью (точка A), в то время как 3-месячный опцион при деньгах (at-the-money) торгуется с 15,7 %-ной волатильностью (точка B). При этом 1-дневный опцион будет торговаться с 13 %-ной волатильностью (точка C). 3-месячный 80 колл будет торговаться с 13 %-ной волатильностью (точка С), а 80 пут – с 20 %-ной волатильностью.

Правило управления рисками: жесткие американские опционы дороже, чем европейские опционы с тем же сроком экспирации, поскольку они содержат в себе компаунд-опцион на процентную ставку или волатильность. Разница между ними увеличивается либо с волатильностью волатильности[32] (volatility of volatility), либо при изменении уровня и волатильности процентных (или кэрри) ставок.

Это правило легко объяснить трейдерам, которые сталкивались с крайне нестабильными процентными ставками или колебаниями подразумеваемой волатильности (vvol). Американский опцион дает владельцу право оплатить поддержание позиции, чтобы «продлить» опцион еще на 1 день и таким образом сделать ставку на то, что опцион останется неисполненным. Как таковой он становится продлеваемым опционом (компаунд-опционы рассматриваются в главе 21).

Американские опционы, которые никогда досрочно не исполняются. Некоторые контракты на американские опционы неинтересны для досрочного исполнения. Это опционы на фьючерсы[33], где ежедневно происходит переоценка по рынку. Например, на Лондонской международной бирже финансовых фьючерсов (LIFFE)[34] опционные продукты являются маржируемыми как фьючерсы. Прибыль может фиксироваться ежедневно, и, таким образом, на нее можно получать проценты. Покупка опциона глубоко в деньгах требует гораздо меньших затрат денежных средств, чем на других рынках.

Форварды, фьючерсы и форвард-форварды (продвинутый уровень)

■ Форвардный контракт между двумя сторонами обязывает обе стороны купить и продать определенный актив в указанную дату или обменяться платежами по формуле.

■ Фьючерс – это стандартизированный котируемый на бирже форвардный контракт с установленными сроками, контрагентом по которому является биржевой клиринговый центр. Торговля осуществляется путем открытого выкрика (аукциона)[35], а ликвидность повышается за счет стандартизации и взаимозаменяемости контрактов.

Коэффициенты хеджирования форварда и фьючерса неодинаковы. В случае форварда обмен платежами происходит в день исполнения контракта, в то время как у фьючерса существует вариационная маржируемая система динамических выплат. Стороны должны обмениваться платежами, которые соответствуют их дневной прибыли или убытку. Таким образом, победитель может получать и проценты на прибыль. Такое различие может быть существенным для долгосрочных инструментов.

Чтобы хеджировать форвард с помощью фьючерса, трейдеру необходим «хвост»[36] для компенсации разницы между текущей стоимостью контракта и наличными. Хедж (количество единиц фьючерсов на одну единицу форварда) будет составлять:

h = e^–rt,

где t – количество лет, а r – начальная ставка до момента поставки форварда[37].

Пример. 3-месячный биржевой фьючерс на Чикагской товарной бирже (CME) в немецкой марке (DEM) против доллара США (USD) торгуется по цене 0,70 цента за $1 (срок исполнения фьючерса наступает через 90 дней). За счет арбитража 90-дневный форвард также торгуется по 0,70 (цена спот – 1,4286).

Какое количество немецкой марки (DEM) эквивалентно 100 фьючерсам (в одном фьючерсе на CME 125 000 DEM)?[38] Предположим, что процентная ставка на 90 дней составляет 6 %.

Общая номинальная стоимость составляет DEM 12 500 000. Коэффициент хеджирования h равен Exp[–0,06 × 0,25] = 0,985 (количество фьючерсов на один форвард). Таким образом, хеджирование в форварде составляет 12 500 000/0,985 × 100 = 126 900.

Если фьючерс DEM сразу поднимется до 0,71, то прибыль по фьючерсной ноге составит $125 000 и будет перечислена немедленно. Прибыль по форварду составит $126 900, но будет реализована только через 90 дней.

Кредит

Кредит – это еще одна разница между фьючерсами и форвардами. В общем случае свопы, кэпы и флоры (с эквивалентными датами во фьючерсах) легко хеджировать стрипами и евроопционами. Переход на внебиржевой рынок (over-the-counter market) создает несоответствие, которое расходует двусторонние кредитные средства. Если Credit Syldavia войдет в своп с Banca Nazionale del Lavoro, обе стороны сократят свои кредитные линии и увеличат условные балансы. Если же обе стороны в разное время займут встречные позиции с дополнительными контрагентами, которые, в свою очередь, будут торговать друг с другом, то число участников вырастет – каждая из четырех сторон сократит объемы своих портфелей, а также кредитные линии с остальным миром. Если бы все сделки проходили на стандартизированной бирже, то подобного бы не произошло – каждый остался бы нейтральным.

Обычно маркетмейкеры используют биржу, когда нужно инициировать сделку (когда они выступают в качестве клиента), и торгуют форвардами, когда они выступают в качестве маркетмейкера для другой стороны, работающей с их ценами.

Различия в оценке рыночной стоимости

Рыночная переоценка создает заметные различия между форвардами (и аналогичными инструментами) и фьючерсами (см. табл. 1.2). Форварды – это собственный рынок для биржевого оператора, и они оцениваются согласно принятой методике. Что-то изменяют трейдер и бэк-офис, а все промежуточные пункты на кривой вычисляются по алгоритму, используемому системой.

Фьючерс же оценивается биржей по четко определенным правилам. Кривая волатильности на евродоллар, около 40 контрактов, генерируется не с помощью компьютерных алгоритмов, а с учетом последней сделки, или бид-офер (даже если результирующая кривая получается неровной). Оператор, который строит ту же кривую по меньшему числу точек, как правило, получает более сглаженный результат.

Другая проблема связана с выбором момента. Ее называют проблемой несинхронной рыночной переоценки. Многие участники открывают позиции на одной бирже против позиций на другой. Биржи имеют разное расчетное время. Оценка рыночной стоимости фьючерса не точно отражает результирующую прибыль/убыток.

Пример. Арбитражер входит в форвард на пару USD-JPY (японская иена) на внебиржевом рынке против фьючерсов на евроиену в Сингапуре и на евродоллары в США. Банк оценивает позиции в 16:30 по нью-йоркскому времени, в то время как сингапурские фьючерсы оцениваются до начала торгового дня в Нью-Йорке, а евродоллары – в 15:00 по нью-йоркскому времени. Результирующая прибыль/убыток арбитражера никогда не отражает точную ликвидационную стоимость его позиции.

Корреляция между фьючерсом и финансированием (продвинутый уровень)

Для перечисленных выше ситуаций характерна независимость между ставкой финансирования прибыли/убытка по фьючерсу и их ожидаемыми изменениями в будущем. Корреляция между ставкой финансирования и фьючерсом может быть переведена в выпуклость или вогнутость фьючерса, в отличие от форвардного контракта.

Правило управления рисками: при наличии положительной корреляции между ставкой финансирования r и фьючерсным контрактом F[39] (по любому возможному базовому активу), переоцениваемым по рынку в соответствии с правилами, фьючерс становится выпуклым и торгуется выше форварда с той же датой поставки.

И наоборот: при наличии отрицательной корреляции между ставкой финансирования r и фьючерсным контрактом F фьючерс становится вогнутым и должен торговаться ниже соответствующего форварда.

Иллюстрация правила приведена в главе 10.

Контракт форвард-форвард

■ Форвард-форвард – это контракт на обмен актива в один период против обратной сделки в более поздний период.

Для квазилинейных деривативов, таких как инструменты с фиксированным доходом, соотношение цен двух форвардов будет следующим:

FF(t1, t2) = F(t2)/F(t1).

Форвард-форвардная ставка определяется существующими на рынке ставками, которые интерполируются для получения безубыточной ставки для периода между t1 и t2.

Фьючерсы на евродоллары являются форвард-форвардными контрактами. По иронии судьбы форвард-форварды часто определяют цену спот (хвост виляет собакой, как часто повторяют в кругах фьючерсных трейдеров).

Для опционов форвард-форвард рассчитывается с учетом нелинейности времени. Это подробно рассматривается в главе 9.

Основной риск-менеджмент: Разграничение первичных и вторичных рисков

Рыночные риски могут быть первичными или вторичными. Данное разграничение иногда вызывает внутреннее отторжение, но некоторые инструменты и рынки представляют бо́льшую опасность с точки зрения сопутствующих рисков, чем с точки зрения их первичных рисков[40].

Первичным называют риск, который больше всего влияет на колебания прибыли/убытка. Именно его следует хеджировать в первую очередь. Поскольку рынки быстро изменяются, очевидно, что трейдеру нужно сосредоточиться на первичных рисках, оставив остаточные риски на конец торговой сессии (в большинстве случаев они могут подождать).

Приведенная ниже классификация рисков исключает продукты, основанные на корреляции (например, опционы на один из двух инструментов).

● Для портфеля деривативов на акции рыночные риски являются направленными, и все возможные изменения цены дериватива будут определяться движением базового актива. Вопросы, связанные с процентными ставками, считаются второстепенными, т. к. уровень этих параметров практически не влияет на позицию. Кто-то может пострадать от косвенного влияния изменения процентной ставки на долгосрочную позицию в фондовом активе (через влияние на ценообразование форвардов), но такая разница будет незначительной по сравнению с той, которая может быть вызвана движением цены и изменением волатильности. Такой анализ не отражает возможное влияние изменения процентных ставок на фондовые рынки, он касается лишь их влияния на временну́ю структуру или цены акций. Риск пассивного курения для здоровья человека, у которого уже диагностирован рак, не имеет серьезного значения.

● Однако для портфеля деривативов на инструменты с фиксированным доходом в качестве первичных рисков необходимо учитывать как базовый актив (т. е. денежные потоки, дисконтированные по процентным ставкам), так и общую структуру кривой процентных ставок. Это в основном связано с тем, что позиции в инструментах с фиксированным доходом реагируют на структуру цен во времени, а не только на движение цены, как, например, акции или валюты. Каждая купонная ценная бумага с фиксированным доходом – это простая сумма более мелких ценных бумаг с нулевым купоном с различными сроками действия. На цену 10-летнего свопа в основном будут влиять 10-летние процентные ставки. На него влияют и 4-летние ставки, при прочих равных условиях, из-за эффекта реинвестирования в течение периода. Структура процентных ставок становится неотъемлемой частью рисков и выгод по каждому инструменту и поэтому должна рассматриваться как основной риск.

● Для валютного портфеля основными рисками являются обменный курс валютной пары и волатильность. Но и разница в процентных ставках, и временна́я структура процентных ставок тоже существенны. Они становятся частью первичных рисков на некоторых развивающихся рынках, где возможна высокая волатильность процентных ставок.

Эту классификацию необходимо адаптировать к разным инструментам. Те, кто пытался сформулировать обобщенную теорию управления рисками, пока что не смогли получить удовлетворительного результата. Никакие два инструмента нельзя считать равнозначными. Следовательно, трейдеры должны изначально искать точки соприкосновения между инструментами самостоятельно.

Табл. 1.3 и 1.4 применимы к наименьшей разлагаемой структуре (smallest decomposable fragment – SDF).

Среди факторов риска преобладает ликвидность (невидимый риск, как признают трейдеры). Она рассматривается в книге на всех уровнях без отнесения к какой-либо категории. Ликвидность является источником и причиной всего в торговле, и каждый риск-менеджер должен постоянно помнить о ней.

Так как все опционы в принципе одинаковы, везде, где возможно, мы придерживаемся стандартных примеров. Большинство примеров в книге описывают опционные риски для обычного актива без форвардной наценки. Такой подход упрощает проекцию в будущее и изолирует чистые опционные риски инструментов.

Другими словами, мы приводим все к одному масштабу. Таким образом, форвард будет торговаться как 100 % от цены спот независимо от срока истечения. Такое упрощение позволяет сфокусироваться на опционных рисках, не упуская из виду реальные проблемы. В тех случаях, когда упрощение приводит к неточностям, торговый инструмент используется с учетом его особенностей. Дрифт[41] и понятие «изменение вероятности Гирсанова» вводятся в тех случаях, когда это влияет на технику хеджирования.

Первоначально в книге мы будем измерять риски деривативов с помощью простых примеров, где создается «чистый» портфель. Основные греки (вега, гамма, тета) рассматриваются в первую очередь, чтобы создать базу для последующего, более практического подхода. За этим следует подробное представление модифицированной дельты, модифицированной веги, модифицированной тэты и модифицированной гаммы. Этот общий подход можно применять ко всем инструментам.

Блоки, посвященные некоторым экзотическим опционам (ставки, барьеры и корреляция), разбираются в последнюю очередь. Книга предлагает дорожную карту для распространения этих принципов на другие, более сложные инструменты. Чтобы применять эти методы к портфелям конкретных инструментов, важно научиться отделять опционный риск от остаточных рисков, присущих инструменту. Лучше всего это сделать путем разложения инструмента на минимальные ликвидные торгуемые сегменты (см. рис. 1.7).

Применение изложенного подхода к конкретным инструментам

Своп при подобном описании – это просто мультиактивный инструмент, состоящий из коррелирующих сегментов, которые зачастую разлагаются на очень ликвидные евродолларовые стрипы. Для того чтобы трейдер мог применять принципы динамического хеджирования к свопам, ему достаточно понимать теоретическую основу опционов на мультиактивы и владеть техникой работы с корреляционными матрицами. Что касается индексных амортизационных свопов, то для использования американских бинарных опционов необходимо понимание компаунд-опционов (там, где это применимо). Проблема большинства трейдеров, работающих с инструментами с фиксированным доходом, заключается в том, что они ограничиваются изучением тонкостей инструмента, а не фокусируют внимание на генерирующих данные инструменты блоках. Этот метод значительно проще, чем целостный подход Хита–Джарроу–Мортона[42].

Большинство трейдеров различают ванильные (vanilla) и экзотические (exotic) опционы. Ванильный опцион и ванильный форвард отличаются более простым (по сравнению с экзотическими) рыночным ценообразованием и торгуются на ликвидных биржевых рынках. Нестандартную структуру называют экзотической. Когда в 1978 г. на Чикагской бирже опционов (CBOE) были введены опционы пут, Джим Пайпер[44] отнес их к категории экзотических, при этом опционы колл в его описании были ванильными.

Нет никакой реальной функциональной разницы между ванильными и экзотическими продуктами за исключением того, что ценообразование экзотических опционов часто кажется более сложным. В целях риск-менеджмента решающее значение для понимания и оценки опционов имеют шесть аспектов анализа (см. рис. 2.1), рассмотренные ниже.

Аспект 1. Однородность структуры выплат

■ Под однородной по времени структурой понимается структура выплат, которая не меняется в течение срока действия контракта. Говорят, что контракт однороден по отношению ко времени от начала его действия до экспирации.

Некоторые структуры имеют ограничения по однородности, поскольку выплата зависит от того, когда произошло требуемое по условиям контракта событие – до или после определенной даты. Таким образом, первый вопрос, который необходимо задать при определении типа опциона, – это имеет ли его структура какие-либо изменяющиеся во времени характеристики.

Пример. Характеристики опциона c отложенным страйком[45] сильно зависят от того, произошло ли событие до дня, когда установлен страйк, или после него. Практически опцион не имеет дельты и гаммы[46], но у него есть вега между началом его действия и моментом определения цены страйк. После того как цена страйк задана (как правило, спотовая цена на определенную дату), опцион становится обычным, ванильным (скучным). Такой опцион имеет два набора характеристик. Один – в период 1, когда у него (на бумаге) нет гаммы и других характеристик, и другой – в период 2, когда он становится ванильным со всеми его атрибутами.

Цена любого опциона изменяется со временем, вопрос лишь в том, предусмотрены ли в условиях контракта определенные даты, после которых происходят изменения выплат. На рис. 2.2 время до экспирации «нарезано» на периоды. Каждому периоду соответствует своя выплата. Например, опцион «окно» (window option) – это барьерный опцион, у которого барьеры снимаются по истечении установленного условиями периода. В случае «гибкого» барьерного опциона (flexible barrier option) барьеры могут расширяться на 1 процентный пункт каждый месяц. Например, в 1-й месяц барьер составляет 109 (в примере цена спот принята за 100 %); во 2-й месяц – 110; в 3-й месяц – 111 и т. д.

Неоднородными по времени структурами бывает довольно сложно управлять. В последующих главах описаны их риски и то, как обращаться с греками, которые могут изменяться с течением времени.

Такие структуры также могут быть самыми сложными для оценки. Модель ценообразования должна учитывать тот факт, что выплаты изменяются в зависимости от периода. Кванты часто испытывают сложности с опционами, которые на самом деле очень легко хеджировать (например, американские опционы), и считают тривиальными сделки с опционами, которые в действительности являются сложными для торговли (например, ставки и бинарные опционы).

Мастер опционов: наименьший разлагаемый фрагмент структуры

Каждую торговую конструкцию для целей управления рисками необходимо разделять на более мелкие части до тех пор, пока получившиеся элементы больше не смогут считаться разложимыми. Термин «разложимый» предполагает, что дериватив «составлен из структур, объединенных вместе».

● Двойной барьерный опцион (double barrier option)[47] не является сложением двух барьерных опционов.

● Стрэнгл (strangle), однако, – это просто сумма опционов пут и колл[48].

● Европейская двойная ставка (European double bet) может быть разделена на две европейские одиночные ставки. Американская двойная ставка («или-или») не разлагается на две одиночные ставки.

● Опцион на корзину активов, или пакетный опцион (basket option)[49] не разбивается на меньшие опционы на компоненты его корзины. Точно так же опцион на спред не разлагается на два опциона на компоненты этого спреда.

● Кэп-опцион (cap option) или флор-опцион (floor option) разлагается на более мелкие элементы (кэплеты и флорлеты). Опцион на своп, который обычно называют свопционом (swaption), не разлагается (он подобен опциону на корзину активов).

● Европейский барьерный опцион (European barrier option) не будет рассматриваться в этой книге, т. к. он является простой суммой бинарного опциона и колл-спреда[50].

● Некоторые опционы являются ограниченно разлагаемыми – их можно разбить на более мелкие части в бесконечном количестве только на бесконечно узком интервале между страйками. Лукбэк-опцион (lookback option)[51] разлагается на бесконечную серию включаемых (knock-in) и выключаемых (knock-out) опционов[52] с бесконечно близкими ценами страйк. Бинарный опцион колл можно ограниченно разложить на бесконечное количество бесконечно узких колл-спредов. Эти знания полезны в торговле и ценообразовании, хотя никто никогда не пытался выполнить подобную репликацию.

Напоминание для динамического хеджера, осознающего свой риск (и несущего транзакционные издержки): доходность портфеля из суммы SDF заметно отличается от суммы доходностей независимо управляемых SDF.

Аспект 2. Вид выплат: Непрерывный и дискретный

■ Бинарные (дискретные) и рампа-выплаты[53] (непрерывные) – это два разных вида выплат (рис. 2.3 и 2.4). Рампа-выплаты непрерывны между точками, а бинарные – выплачиваются по принципу «все или ничего», без промежуточных вариаций. Они сродни ставкам двух людей на исход события.

Пример. Предположим, что человек делает ставку на исход дела об убийстве, получившего широкую огласку (как это часто делают трейдеры), в размере $1000. Промежуточных выплат между убытком в $1000 и прибылью в $1000 не будет. В этом случае говорят, что выплата бинарная (дискретная).

Есть два момента, которые следует учитывать в сделках на опционы с дискретным профилем выплат (это одновременно и хорошие, и плохие новости для трейдера).

1. Плохая новость заключается в том, что почти все доступные на рынке инструменты хеджирования являются продуктами с непрерывными выплатами. В результате получается несовершенное или нестабильное хеджирование позиции. Имеются конструкции, которые обеспечивают точное хеджирование (такие, как вертикальные спреды), но они слишком дороги для реализации и, как правило, недоступны.

2. Хорошая новость заключается в том, что такого рода опцион (на ставку) «кусается несильно». Это относительно безобидный продукт для тех, кто торгует им должным образом – как обычной ставкой. В этих ситуациях следует избегать динамического хеджирования.

Такое различие между типами выплат всегда присутствует в производных структурах. Есть опционы, которые являются американскими и предполагают выплаты «по касанию», а также опционы, которые приводят к выплате, если какое-либо условие выполняется на дату экспирации. Данный тип инструментов дает хорошую теоретическую базу для дальнейшего обсуждения барьерных опционов.

Пример «европейский». По 3-летней деноминированной в долларах ноте выплачивается 7 % в каждую купонную дату, если курс иены относительно доллара превышает 100. В остальных случаях купонная выплата составляет 4 %. Такую ноту можно сконструировать из обычной ноты с тем же сроком погашения и серии бинарных опционов колл с ценой страйк 100, истекающих в купонные даты.

Пример «американский». Та же нота, что и раньше, за исключением того, что выплаты составят 8 % до тех пор, пока иена не будет торговаться по цене 110 в любой момент в течение 3-летнего срока жизни опциона.

Аспект 3. Барьеры

■ Барьер – это ценовой уровень на рынке (называемый также триггером), при достижении которого существенно изменяется выплата по деривативу.

Пожалуй, самым занимательным аспектом торговли опционами является барьер. Многие трейдеры знают, как пересечение триггерных цен заставляет сердце колотиться. Для исследователя это интересно еще и тем, что описывается красивой математикой (теорией вероятности).

Трейдер должен спрашивать, есть ли у инструмента барьер, который прерывает выплату по нему (выключает) или инициирует ее (включает). На рис. 2.5 показана цена актива, пересекающая верхний барьер.

■ Верхний барьер (up barrier) – это барьер, расположенный выше цены спот. Нижний барьер (down barrier) – это барьер, расположенный ниже цены спот.

Аспект 4. Размерность структуры и количество активов

■ Размерность структуры – это единица + количество переменных, влияющих на ее стоимость (одна из них – время).

Как будет показано во «введении к случайному блужданию» в модуле А, стандартный ванильный опцион имеет два измерения: цена актива и время. Две характеристики, цена актива (ось у) и время (ось х), позволяют представить информацию на двухмерном графике. Рынок можно проиллюстрировать классической случайной прогулкой (блужданием) пьяного по Мэдисон-авеню.

Когда в структуре больше одной переменной, трейдерам необходимо учитывать корреляцию и независимость.

Существует много типов многомерных структур – в жесткой 3D-структуре цен исполнения (страйков) больше одной; в мягкой 3D-структуре (например, конвертируемой) уровень процентных ставок имеет значение для самой конструкции.

Американский валютный опцион особенно чувствителен к процентным ставкам и кривой, поэтому он считается структурой более высокой размерности.

Привычка трейдеров, торгующих деривативами, хеджироваться с помощью ликвидных инструментов приводит к тому, что все инструменты становятся мультиактивами (конструкциями более высокого порядка).

■ Мультиактивная структура конструкции возникает в результате хеджирования неликвидного инструмента ликвидными опционами. Когда опцион на неликвидном рынке хеджируется «похожим» опционом на ликвидном, эта «похожесть» становится риском.

Такое увеличение размерности структуры обычно нужно при использовании не очень ликвидных инструментов.

Пример – мультиактивная 3D-структура. Трейдер в банке продает клиенту (о нет!) кросс-опцион на DEM-AUD (немецкая марка – австралийский доллар). Очевидно, этот опцион можно хеджировать базовым активом (DEM-AUD на форвардном или спот-рынке). Однако спот-рынок в стране сделки не очень ликвиден, поэтому трейдер разделяет структуру на две части: USD-DEM и AUD-USD. Он хеджирует стратегию спотом и форвардом по экспозиции, тем самым становясь нейтральным по отношению к первому порядку структуры (по дельте). Читатель найдет в модуле С описание сделок между двумя валютами или между валютой и расчетами в базовой валюте.

Трейдер благоразумно прибегает к дальнейшему хеджированию, чтобы уменьшить риски позиции по волатильности. Поэтому он покупает волатильность в USD-DEM и в AUD-USD, т. к. они являются ликвидными (требуемая пропорция подобного хеджирования будет проанализирована позже). Теперь у него мультиактивный портфель со следующими базовыми активами: USD-DEM и AUD-USD (тогда как ранее он имел дело только с одним кросс-курсом). Эта концепция сложна для понимания, но два разных актива будут давать три разные волатильности (по одной на каждую результирующую пару), связанные между собой двумя корреляциями.

Пример – мультиактивная 4D-структура. Трейдер из предыдущего примера получил телефонный звонок с плохими новостями, и, как результат, ему пришлось торговать большой опционной позицией на валютную пару греческая драхма – австралийский доллар (символ GDR-AUD). Он разбил риск позиции по волатильности на ликвидные компоненты (GDR-DEM, USD-DEM, AUD-USD) и торгует каждым из них против другого (3 актива + время = 4 измерения).