Читать онлайн Геометрия. 7-9 класс бесплатно

Геометрия. 7-9 класс

От автора

Эта книга предназначена для обычных школьников, которые хотят понять геометрию на плоскости, но в силу разных обстоятельстве в школе им это не удалось сделать. Книга разделена на несколько частей: для удобства изучения и для качественного усвоения материала. Все части книги связаны и представляют собой единую программу по предмету Геометрия, раздел «Планиметрия».

Пусть наука простит меня за какие-то возможные неточности в изложении материала, я не для нее писала эту книгу и старалась максимально связно и доходчиво донести знания до детей любого возраста и для родителей, которые хотят помочь своим чадам в изучении этого предмета или вместе изучают предмет.

Программа отработана и показывает хорошие результаты усвояемости учениками разных возрастов, от 5 до 11 класса.

Планируется выпустить сначала все книги по теории, потом задачники.

Начальные знания об элементарных фигурах

Фигуры на плоскости, изучаемые в школе: треугольники, четырехугольники, окружность, круг, многоугольники.

Также надо различать и понимать, что такое точка, отрезок, луч, прямая, угол.

В курсе «Геометрии» 7-9 класса проходят темы «Векторы», «Метод координат», «Движение» и «Начальные сведенья из стереометрии, однако в ОГЭ по математике, пока что эти темы не включены.

Для начала вспомним определения и свойства элементарных «фигур»:

Точка – абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик.

Прямая – это самая простая геометрическая фигура, которая, не имеет ни начала, ни конца, т.е. бесконечна.

Луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Луч имеет начало, но не имеет конца. Любая точка на прямой разделяет ее на два луча.

Отрезок прямой – это часть прямой, ограниченная двумя точками (точки называются концами отрезка).

Также надо понимать, что, все вышеперечисленные объекты – это множество точек (кроме точки она одна, не множество), бесконечное множество – ничем ограниченная прямая; бесконечное множество, ограниченное с одной стороны (или имеющее начало) – луч; множество точек имеющие и начало и конец – отрезок.

Точки, обозначаются только большими латинскими буквами

точка A

точка B

Рис.5 Геометрия. 7-9 класс
Рис.18 Геометрия. 7-9 класс

Прямые обычно обозначают малыми латинскими буквами

прямая a                  прямая b                  прямая c

Но если на прямой есть точка, то можно обозначать ее двумя точками, лежащими на прямой.

Рис.20 Геометрия. 7-9 класс

прямая AB

На прямой АВ также есть четыре луча и один отрезок. Луч можно, как и прямую, обозначить малой латинской буквой или двумя большими, где правая будет обозначать начало луча, а вторая может быть любой точкой на этом луче

Рис.9 Геометрия. 7-9 класс
Рис.41 Геометрия. 7-9 класс

Отрезок всегда обозначают двумя большими латинскими буквами.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Другими словами, угол – это два луча, у которых совпадают их начала.

Рис.15 Геометрия. 7-9 класс

Углы обозначаются тремя большими латинскими буквами, где средняя буква является вершиной угла, началом лучей.

Прямые

Прямые могут пересекаться и не пересекаться. Если у прямых есть одна общая точка, то они пересекаются. Прямые a и b пересекаются в точке A.

Рис.37 Геометрия. 7-9 класс

Если у прямых нет общей точки пересечения, то такие прямые называются параллельными. Прямая c параллельна прямой d. (обозначение //)

Рис.31 Геометрия. 7-9 класс

Если у прямых две общие точки, то они совпадают, т.к. через две точки можно провести только одну прямую. Прямая z совпадает с прямой LM

Рис.10 Геометрия. 7-9 класс

Если прямые пересекаются под углом в 90 градусов (под прямым углом), то такие прямые называются перпендикулярными

Рис.1 Геометрия. 7-9 класс

Прямая h перпендикулярна прямой i

Углы

Рис.26 Геометрия. 7-9 класс

Углы бывают четырех видов:

Рис.2 Геометрия. 7-9 класс
Рис.24 Геометрия. 7-9 класс

Углы на пересекающихся прямых

Углы, которые находятся напротив друг друга, называются вертикальными. Они равные.

Рис.12 Геометрия. 7-9 класс

Углы, которые находятся рядом и образуют прямую (или развернутый угол) называются смежными. В сумме они составляют 180 градусов.

Рис.21 Геометрия. 7-9 класс

Углы на двух параллельных прямых и секущей

Соответственные углы равны.

Рис.13 Геометрия. 7-9 класс

Внутренние накрест лежащие углы также равны

Рис.39 Геометрия. 7-9 класс

Внешние накрест лежащие углы также равны

Рис.8 Геометрия. 7-9 класс

Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов

Рис.27 Геометрия. 7-9 класс

Внешние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов

Рис.6 Геометрия. 7-9 класс

Градусная мера углов

Углы измеряются в градусах « о», минутах « ’», и секундах « ”»

Рис.14 Геометрия. 7-9 класс

До 9 класса достаточно знать о градусах. О минутах и секундах рассказывают в 10 классе на уроках Алгебры, в разделе «Тригонометрия».

Измерить градусную меру угла можно транспортиром :

Рис.28 Геометрия. 7-9 класс

Общие сведения о треугольниках

Общие сведения, которые касаются всех треугольников:

1.Сумма углов в любом треугольнике равна ста восьмидесяти градусам

2.У любого треугольника есть средняя линия, длина которой равна половине основания.

Рис.4 Геометрия. 7-9 класс

Средняя линия (K M) – это отрезок, который соединяет середины сторон, т.е. K – середина AB, M – середина BC.

Значит AK=KB, CM=BM

а

Рис.25 Геометрия. 7-9 класс
(основание для средней линии – это сторона, параллельная ей), т.е.
Рис.23 Геометрия. 7-9 класс

3.Кратчайшее расстояние от точки до прямой – перпендикуляр. Это понимание нужно для решений некоторых задач, где рисуя перпендикуляр то получается либо высота, либо прямоугольный треугольник , либо

Рис.35 Геометрия. 7-9 класс
Рис.17 Геометрия. 7-9 класс

4.Площадь треугольника

Рис.11 Геометрия. 7-9 класс
где a – основание (сторона, на которую опущена сторона),
Рис.19 Геометрия. 7-9 класс
– это высота, опущенная на сторону а.

Рис.38 Геометрия. 7-9 класс

где b – это основание, а

Рис.3 Геометрия. 7-9 класс

– это высота, опущенная на основание.

Рис.32 Геометрия. 7-9 класс

Т.е. площадь можно найти, используя половину произведения ЛЮБОЙ стороны и высоты, ОБЯЗАТЕЛЬНО опущенной именно на эту сторону.

5.Высота – это отрезок, концы которого соединяют вершину треугольника и противоположную сторону так, что сторона и отрезок образуют

Рис.40 Геометрия. 7-9 класс
(прямой угол).

Рис.29 Геометрия. 7-9 класс

6.Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Рис.36 Геометрия. 7-9 класс

7.Биссектриса – это отрезок, исходящий из вершины на противоположную сторону и делящий угол пополам

Рис.22 Геометрия. 7-9 класс
.

Виды и свойства треугольников.

Что такое треугольник, думаю, знают все: еще с начальной школы знаем, что такая фигура имеет три угла, три стороны и три вершины. Разберемся теперь, какие треугольники бывают.

В зависимости от углов:

остроугольные (все углы острые, меньше 90°)

Рис.34 Геометрия. 7-9 класс

тупоугольные (один из углов тупой, больше 90°)

Рис.33 Геометрия. 7-9 класс

прямоугольные (один из углов прямой, 90°)

Рис.0 Геометрия. 7-9 класс

В зависимости от сторон:

произвольный (все стороны и углы разные)

равнобедренный (две стороны равны)

Рис.30 Геометрия. 7-9 класс

равносторонний (три стороны равны)

Рис.16 Геометрия. 7-9 класс

В планиметрии рассматривают: прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники – они немного особенные и свойств у них много, которые надо знать.

У остроугольного нет особенностей.

У тупоугольного есть одна: три высоты будут пересекаться вне треугольника.

Прямоугольный:

Стороны, прилежащие к углу в 90°, называются катетами

Сторона, лежащая напротив угла в 90°, называется гипотенузой

Свойства:

Два острых угла дают в сумме 90°. (Сумма углов в треугольнике составляет 180°, в прямоугольном – один угол прямой, т.е. 90°, 180°-90°=90°, таким образом на два острых угла приходится только 90°.)

Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Рис.7 Геометрия. 7-9 класс

Равнобедренный:

Равные стороны называются боковыми, третья- основанием. Боковые стороны равны по определению.

Свойства:

Углы при основании равны.

Продолжить чтение