Читать онлайн Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек бесплатно

Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

1. Притяжение тела внутри обруча

Считается, что тело внутри полой сферы не испытывает сил притяжения с её стороны. Рассмотрим такую же ситуацию в плоской форме – силу притяжения тела внутри полого цилиндра. Более того, будем считать, что высота цилиндра равна нулю. Фактически это круг с круглым отверстием внутри.

Очевидно, что ширина этой круговой полосы также качественно не влияет на результаты вычислений, поэтому будем считать её также равной нулю, то есть, рассмотрим очень тонкий массивный обруч.

Для точного определения сил, действующих на тело внутри обруча, рассмотрим дифференциал массы обруча, массу каждого элементарного, бесконечно малого его участка, которая равна

Рис.14 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Определим расстояние r между массой m и дифференциальным элементом

Рис.0 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек
Рис.12 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Рис.1.1.Определение силы притяжения тела внутри обруча.

С учетом m = 1, ρ = 1 и вычисленного квадрата радиуса сила притяжения равна

Рис.15 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Нас интересует сила, направленная вдоль оси X. Определяем её из соотношения подобных треугольников

Рис.2 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Заменим Rx на долю от R0, то есть, Rx = kR0, где, очевидно, k = 0…1

Рис.9 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Вычисляем значение силы для каждого значения Rx или значения k. Очевидно, что ни одно из значений силы, кроме k = 0, не равно нулю. При этом значении интеграл упрощается до элементарного

Рис.10 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Вероятно, значение силы тем больше, чем ближе Rx к R0. При этом следует ожидать даже бесконечно больших значений при значении k = 1

Рис.3 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

В точке φ = 0 подынтегральная функция обращается в неопределённость, деление нуля – dφ на ноль. Попробуем разрешить эту неопределённость. Поскольку мы производим численное интегрирование, то эта точка соответствует конечным, компьютерным значениям дифференциала и функции φ = dφ =0, то есть, неопределённость 0/0

Рис.6 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Попробуем разрешить неопределённость аналитически. Вблизи этой точки дифференциал dφ и аргумент φ одинаково стремятся к нулю, поэтом обозначим их одной переменной. Найдём предел отношения подынтегральной функции

Рис.8 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Известно, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных

Рис.4 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Повторим процедуру замены функций на их производные

Рис.7 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Ранее мы извлекли функцию из-под корня, теперь возвращаем

Рис.13 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Казалось бы, при нулевом расстоянии между фрагментом обруча и материальной точкой m сила притяжения должна быть равна бесконечность. Однако мы рассматриваем одновременно с уменьшением дистанции и уменьшение длины этого фрагмента, что и привело к конечному значению неопределённости. Другим объяснением может служить то, что расстояние между объектом m и элементом обруча при стремлении его к нулю фактически заменяется в пределе их слиянием. Теперь это не расстояние между ними, это их общий размер. Иначе говоря, два элемента слились своими центрами, а на тело, находящееся в центре массивного объекта, не действуют никакие силы.

Проверяем решение численным интегрированием (1.3).

Рис.1 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Рис.1.2. График изменения силы притяжения пробного тела внутри обруча в зависимости от его удалённости от центра. График приведён полностью

Диапазон изменения сил оказался слишком большим, поэтому график плохо просматривается. Все его значения почти на 95% длины радиусов выглядят нулевыми. Чтобы сжать график до размеров диаграммы, можно использовать логарифм величины. Понятно, что отрицательные значения в начале графика соответствуют его значениям, меньшим единицы.

Рис.5 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Рис.1.3. Логарифмический график изменения силы притяжения внутри обруча пробного тела в зависимости от его удалённости от центра

Без логарифма, с частичным отсечением верхних значений график выглядит на всём интервале возрастающим

Рис.11 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Рис.1.4. График изменения силы притяжения пробного тела внутри обруча в зависимости от его удалённости от центра. Максимальные значения частично отсечены.

Если ещё больше увеличить масштаб начального интервала, увеличить отсечение сверху, то будет видна практически параболическая или экспоненциальная зависимость

Рис.16 Силы тяготения внутри обруча, сферы и между двух точек

Рис.1.5. График изменения силы притяжения внутри обруча пробного тела в зависимости от его удалённости от центра. Максимальные значения отсечены.

Интеграл силы (1.3) мы формировали исходя из положительного направления силы в сторону центра обруча. Интегрирование и графики показали положительное значение силы. Из этого следует вывод: тело в пустом обруче притягивается к его центру так, будто там находится некий массивный объект.

Продолжить чтение